Acorde Lineal

Acordes lineales (también conocidos como Acordes de Batimento Proporcional) son una generalización de los acordes isoarmónicos, ampliados para incluir intervalos irracionales. Por lo tanto, por definición, todos los acordes justos son también acordes lineales. Además, acordes tales como (1):(1+π):(1+2π):(1+3π) se permiten bajo esta definición más amplia.

Consideremos un acorde de n-notas. Hay n*(n-1)/2 posibles díadas entre cada una de las notas en el acorde. Para cada díada A:B, esta díada batirá en A-B Hertzios. Si todas las frecuencias dentro el acorde se pueden expresar en la forma de una ecuación lineal, y=mx+b, entonces eso significa que todas las frecuencias de batido se sincronizan entre sí porque están armónicamente relacionados. Un ejemplo es el acorde formada a partir de las notas de 400Hz, 500Hz y 700Hz, con frecuencias batido de 100 Hz, 200 Hz y 300 Hz. Por consiguiente, las frecuencias del batimento pueden escribirse como una relación de 1:2 entre las dos díadas más pequeñas. Llamamos a esta relación de la Relación de Radio Isoarmónico o Isoradio para abreviar.

La sincronización de las frecuencias de batido no siempre funciona con los acordes irracionales y timbres armónicos, debido a que las frecuencias de batido no lineales entre parciales superiores compiten con las fundamentales relacionadas linealmente. En consecuencia, la sincronización es más eficaz cuando el acorde puede ser bien-aproximado por relaciones de enteros pequeños, o cuando el timbre es débil (tal como una onda sinusoidal o triangular). O tal vez lo que buscamos no es sincronizar el batimento de todas las frecuencias dentro de un acorde, si no sincronizar los más notables con el fin de minimizar el batido caótico.

Utilizando el principio de batimento proporcional, es posible optimizar temperamentos regulares para tríadas específicas. Esto se hace mediante la creación de una ecuación algebraica que relaciona los intervalos del acorde a un generador y por otra parte la solución para el generador que produce tríadas de batido proporcional. Si queremos optimizar una triada 4:5:6 en el temperamento mesotónico, por ejemplo, queremos una relación de isoradio 1:1 entre la tercera mayor y tercera menor. La tercera menor puede ser expresada como g-g^4/4, y la tercera mayor se puede escribir como g^4/4-1. Por lo tanto tenemos que encontrar las raíces del polinomio g^4-2g-2 (la diferencia entre los dos, simplificado para hacer todos los coeficientes números enteros). Esto se traduce en un generador de 1.49453, o alrededor de 695.63cents.

A continuación se muestra una lista de temperamentos y sus varias optimizaciones para los acordes de batimento proporcional. Ellos están clasificadas según más se expongan en el polinomio, con vínculos rotos por coeficientes principales, luego coeficientes de segundo término, los coeficientes tercer término, coeficientes de cuarto término ..., etc. En el caso de coeficientes negativos, se considera sólo el valor absoluto.

Coeficientes de los Términos:
g^10	g^9	g^8	g^7	g^6	g^5	g^4	g^3	g^2	g^1	g^0		Acorde		Isoradio		Temperament correspondiente		Generador (cents)		EDO(s)
								1	-1	-1		4:5:6		1:1		|1,-2,1>		833.09 (phi)		36
								2	-1	-2		4:5:6		1:1		Father		428.42		14
							3	-2		-2		6:7:9		1:2		Beep		258.65		33, 42, 51
						1			-1	-2		4:5:6		1:1		Mavila		523.66		23, 39
						1			-2	-2		4:5:6		1:1		Meantone		695.63		19, 31, 50
					1			2		-4		4:5:6		1:1		Porcupine		160.89		15
					1	-4				12		5:6:9		1:3		Mavila		674.90		16, 25
				1					-4	-4		4:5:6		1:1		Avila		660.23		20
				1	-2					2		4:5:6		1:1		Hanson		317.96		19
			1						-2	-4		4:5:6		1:1		Uncle		467.46		18
		3			-4					-16		4:5:7		1:2		Mabila		527.66		25
	1					-1				-1		4:5:6		1:1		Tetracot		176.54		34
	1		-1							-4		4:5:6		1:1		Sensi		442.74		19, 65
1							2			-8		4:5:6		1:1		Orson		271.51		22, 31, 53

Nota: En esencia el templado de acordes de relaciones diádicas no se puede optimizar para obtener batimento proporcional, ya que no se pueden definir de forma única en la serie armónica.

Acordes lineales (también conocidos como Acordes de Batimento Proporcional) son una generalización de los acordes isoarmónicos, ampliados para incluir intervalos irracionales. Por lo tanto, por definición, todos los acordes justos son también acordes lineales. Además, acordes tales como (1):(1+π):(1+2π):(1+3π) se permiten bajo esta definición más amplia.

Consideremos un acorde de n-notas. Hay n*(n-1)/2 posibles díadas entre cada una de las notas en el acorde. Para cada díada A:B, esta díada batirá en A-B Hertzios. Si todas las frecuencias dentro el acorde se pueden expresar en la forma de una ecuación lineal, y=mx+b, entonces eso significa que todas las frecuencias de batido se sincronizan entre sí porque están armónicamente relacionados. Un ejemplo es el acorde formada a partir de las notas de 400Hz, 500Hz y 700Hz, con frecuencias batido de 100 Hz, 200 Hz y 300 Hz. Por consiguiente, las frecuencias del batimento pueden escribirse como una relación de 1:2 entre las dos díadas más pequeñas. Llamamos a esta relación de la Relación de Radio Isoarmónico o Isoradio para abreviar.

La sincronización de las frecuencias de batido no siempre funciona con los acordes irracionales y timbres armónicos, debido a que las frecuencias de batido no lineales entre parciales superiores compiten con las fundamentales relacionadas linealmente. En consecuencia, la sincronización es más eficaz cuando el acorde puede ser bien-aproximado por relaciones de enteros pequeños, o cuando el timbre es débil (tal como una onda sinusoidal o triangular). O tal vez lo que buscamos no es sincronizar el batimento de todas las frecuencias dentro de un acorde, si no sincronizar los más notables con el fin de minimizar el batido caótico.

Utilizando el principio de batimento proporcional, es posible optimizar temperamentos regulares para tríadas específicas. Esto se hace mediante la creación de una ecuación algebraica que relaciona los intervalos del acorde a un generador y por otra parte la solución para el generador que produce tríadas de batido proporcional. Si queremos optimizar una triada 4:5:6 en el temperamento mesotónico, por ejemplo, queremos una relación de isoradio 1:1 entre la tercera mayor y tercera menor. La tercera menor puede ser expresada como g-g^4/4, y la tercera mayor se puede escribir como g^4/4-1. Por lo tanto tenemos que encontrar las raíces del polinomio g^4-2g-2 (la diferencia entre los dos, simplificado para hacer todos los coeficientes números enteros). Esto se traduce en un generador de 1.49453, o alrededor de 695.63cents.

A continuación se muestra una lista de temperamentos y sus varias optimizaciones para los acordes de batimento proporcional. Ellos están clasificadas según más se expongan en el polinomio, con vínculos rotos por coeficientes principales, luego coeficientes de segundo término, los coeficientes tercer término, coeficientes de cuarto término ..., etc. En el caso de coeficientes negativos, se considera sólo el valor absoluto.

Coeficientes de los Términos:
g^10	g^9	g^8	g^7	g^6	g^5	g^4	g^3	g^2	g^1	g^0		Acorde		Isoradio		Temperament correspondiente		Generador (cents)		EDO(s)
								1	-1	-1		#####		01:01		|1,-2,1>		833.09 (phi)		36
								2	-1	-2		#####		01:01		Father		428.42		14
							3	-2		-2		#####		01:02		Beep		258.65		33, 42, 51
						1			-1	-2		#####		01:01		Mavila		523.66		23, 39
						1			-2	-2		#####		01:01		Meantone		695.63		19, 31, 50
					1			2		-4		#####		01:01		Porcupine		160.89		15
					1	-4				12		#####		01:03		Mavila		674.90		16, 25
				1					-4	-4		#####		01:01		Avila		660.23		20
				1	-2					2		#####		01:01		Hanson		317.96		19
			1						-2	-4		#####		01:01		Uncle		467.46		18
		3			-4					-16		#####		01:02		Mabila		527.66		25
	1					-1				-1		#####		01:01		Tetracot		176.54		34
	1		-1							-4		#####		01:01		Sensi		442.74		19, 65
1							2			-8		#####		01:01		Orson		271.51		22, 31, 53

Nota: En esencia el templado de acordes de relaciones diádicas no se puede optimizar para obtener batimento proporcional, ya que no se pueden definir de forma única en la serie armónica.