Entonación Justa
Todo Sonido tiene una Fundamental, que es un Tono Puro y un recubrimiento de Parciales, que son ondas proporcionales de la nota fundamental en porciones más o menos armónicas q otras. Todos los Parciales pueden vibrar de cualquier manera, pero nuestra necesidad de medición aprecia su representación por medio de fracciones proporcionales, expresadas por Radios. Ahora cabe decir, q dentro de cualquier sonido se encuentra la posibilidad de todos los sonidos, ya que la onda, en su naturaleza varía siempre, incluso un Tono Puro, al chocar con objetos o entrar al conducto auditivo externo e interno, ya sufre de cambios que le dan débiles parciales de manera pseudo-aleatorea, obviamente esto no se siente de una manera clara; así podemos pensar que todo sonido puede ser tratado (sintetizado) para adquirir el timbre de cualquier otro, sea como el átomo q hace variar la materia según su número de electrones y características en los nucleones. Las relaciones existentes en el sonido pueden expresarse mediante Radios.
Los Radios son la manera que tenemos de expresar las proporciones que se tocan de una cuerda, entendiendo así las vibraciones de los Parciales y Armónicos que se dan en razón de dichas proporciones. Se tiene el criterio de que mientras más simple la relación de variables de un Radio, más consonante será al oído humano, aunque esto no siempre se cumple en la práctica. Lo q estudiamos por el momento es la proporcionalidad de un monocordio afinado a X Hz; anotaremos los RADIOS con el valor mayor primero, o sea en el Numerador (p.Ej 10:7 indica q se divide la cuerda en 10 partes materiales iguales de la cuerda y se tocaban 7 de éstas).
Imaginemos una cuerda. La cuerda se divide en porciones materialmente equitativas marcadas “.”, se ve cortada por una navaja “i”, el lado derecho de la cuerda interrumpida por “i” es el que suena.
I------------------------I 1:1 I-----------i------------I 2:1 I-------.-------i--------I 3:1 I-------i-------.--------I 3:2 I-----.-----.-----i------I 4:1 I----.----.----.----i----I 5:1
Así aclararemos rápidamente de los Armónicos, el armónico segundo, es una octava simple, pero el tercero 3:1 se presenta junto a 3:2 para que entre dentro la octava, el cuarto repite más octavas, el quinto 5:1 estará junto a 5:4, etc., esto porque 3:1, 4:1, 5:1 y en adelante no se escuchan realmente, mientras más alto el Armónico menos perceptible para nuestro oído, pero nos da la ilusión de escucharse dentro el timbre, 3:1 como 3:2, 5:1 como 5:4, 7:1 como 7:6, etc., valga reconocer que desde el Sexto Armónico nos dan notas más excéntricas para el Sistema Occidental. Así viendo una cuerda vibrar podríamos darnos cuenta que en efecto 3:1, 3:2, 4:1, 4:3, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, etc., coexisten de varias maneras. Recordemos q recién tuvimos un acercamiento material a este fenómeno para su mejor comprensión a finales del siglo XX, por medio de la creación de cámaras microscópicas 3D de alta velocidad, al filmar una cuerda vibrar, al día de hoy recién vamos desentrañando realidades acerca de la onda sonora.
Debemos pensar también en que, si queremos octavar un radio se lo multiplica por 2, sea hacia arriba 2:1 o hacia abajo 1:2, por ejemplo 5:2 se octava hacia abajo y da 5:4, hacia arriba da 10:2=5:1. Así se puede transportar cualquier tono un número “n” de octavas, arriba=Tono*(2^n) ó abajo=Tono*((1/2)^n), a este principio le llamamos Equivalencia de Octava. La Equivalencia de Octava dice que cualquier Frecuencia, cualquier fenómeno periódico, puede ser transportado al espectro audible humano, teniendo un tono musical análogo al fenómeno en cuestión, (1/Periodo)*(2^n) = Frecuencia*(2^n) = Frecuencia Transpuesta a Hz. Así podemos calcular que nuestro rango auditivo estándar es (2^5 … 2^15)Hz, aproximadamente 10 octavas; 8 octavas debajo de este rango se encuentran las frecuencias que sentimos como Tempo y Ritmo, normalmente medido en Beats por Minuto (BPM).
Si la cuerda entera, 1:1, emite 100Hz, entonces 2:1 emitirá 200Hz, 3:1 emitirá 300Hz, etc.
Fijarse en “ / ”
I--------i--------/--------I 3:1 I------------i---./---.---.I 2:1 * 3:2 = 6:2 = 3:1
Esto nos indica la Ley del Círculo Sonoro, primero porque las notas octavadas, hacia arriba o abajo, siempre las sentiremos como la misma nota a pesar de su altura: segundo, porque las características del timbre hacen sentir los Armónicos en una altura abstracta, pues no los escuchamos como independientes. Todo Radio implica, al menos dos relaciones, la del Numerador del Radio, que en su forma Impar representa una Identidad vibracional en una tonalidad dada (Utonalidad), la del Denominador, que en su forma Impar representa una Identidad vibracional en otra tonalidad (Otonalidad). Sin importar su expresión en Radio, estas Identidades se consideran números impares. Es sorprendente que al escuchar 2:1, inmediatamente reconozcamos una nota ajena a 1:1, pero no podamos diferenciar su Identidad, es la misma vibración al doble de velocidad, pero nosotros no sabemos eso, sabemos que es el “mismo tono más arriba”, el que se multiplique la velocidad, a nuestro oído cambia la altura, pero no la sensación de Identidad.
La Identidad en la música es cada uno de los números impares por debajo (e incluyendo) el Límite impar de los radios de un temperamento. Por ejemplo las Identidades incluidas en el Límite 5 son 1, 3 y 5. Cada número impar representa un nuevo tono en la Serie Armónica. Sin embargo, el número 9 por ejemplo, a pesar de no ser un primo, constituye una Identidad, sólo por ser impar.
Nota: C C G C E G B C D E F G ...
Parcial: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Y así, cada armónico se aleja de la consonancia, poco a poco entrando a la disonancia, lo q pasa es q mientras más complejo el Radio más disonante lo sentirá el oído del hombre; por ejemplo 10:7, es más difícil de procesar para el cerebro que 3:2, entonces percibimos 10:7 como “más disonante”, obviamente este es un proceso de comparación entre vibraciones y numerosos estudios etnomusicológicos avalan que mucho de nuestro gusto por tales o cuales Radios no es más que un gusto adquirido.
Ok, ahora pensemos momentáneamente en base al pianoforte actual: Do0 con respecto a Do1 se expresa en un RADIO de 2/1, con 1200cents; Do0 y Do2 se expresa en un radio de 4/1, con 2400cents; sabemos q eso es por q la mitad de una cuerda es la octava del tono q la cuerda hace entera, cuando tocamos un cuarto de la cuerda oímos el sonido fundamental dos octavas arriba. Así se cumplen los RADIOS 2/1 y 4/1, sus 8/1, 16/1. Do0 y Sol1 se expresan con el radio 3/1, es la doceava, con 1901.955cents. Ahora 5/1 es una diecisieteava mayor, eso quiere decir q si tocamos un quinto de una cuerda tenemos el sonido de dos octavas y una tercera mayor con respecto a la fundamental; sea Do0 y Mi2 se expresan con el radio 5/1, con 2786.31371cents,
y bueno, notarán q hemos dicho 2:1, 3:1, 4:1 y 5:1, podemos desarrollar por Ley de Armónicos 3:2, 4:3, 5:4, etc., pero lo q nos mueve hoy es ir por Límites, eso significa ir de primo en primo: Para un Número Primo “n”, el Límite “n” contiene todos los números racionales que pueden ser combinados en Radios, utilizando números no más grandes que “n”.
El Límite es el Set de números racionales que se combinan tanto en Numeradores y Denominadores.
Para un numero primo “p”, siendo un subset de Q+ consistiendo de aquellos números racionales “x” cuya factorización tiene la forma Limite001.png con Limite002.png forman un subgrupo de (Q+).
Decimos entonces que una escala o Sistema de Afinación utiliza una entonación dentro el Limite “p” si todos los Radios entre tonos se mantienen dentro este subgrupo.
Serían 1:1 y 2:1 el LIMITE 2
sea, añadiendo, 3:1, 3:2, 4:1 y 4:3 al LIMITE 3 (4 entra porque equivale a 2:1 octavado)
1:1 = unísono, primo perfecto
2:1 = octava
3:1 = 12va perfecta
3:2 = quinta perfecta
4:1 = 2 octavas
4:3 = cuarta perfecta
Pero para poder hacer que un sistema funcione debe guardar o mejorar ciertas propiedades armónicas, como la de hacer acordes de tal o cual tipo, de poder modular a ciertas tonalidades con ciertas reglas, que todas las notas del sistema sean modulables, etc., y existen varias maneras organizar el material sonoro, en detalle de la afinación y entonación, pero para poder tener un sistema estable debemos pensar como alquimistas; creando tejidos de una materia en otro plano, hasta llegar a formar estructuras donde nuestra música encuentra sustento y libertad. Hay que saber pulir Diamantes.
Para un Límite 3 por ejemplo tendríamos un Diamante Tonal (se lee desde el extremo inferior izquierdo hacia el superior derecho) p
[ 4:3 [ 3:3 ] [ 1:1 ] 3:2 ]
Porque se anotan los dos números que conforman el Límite (nótese que el 2 no se toma en cuenta como primo ya q es una duplicidad del 1:1), 1 y 3 en este caso, entonces establecemos el centro del Diamante Tonal, donde todos los valores se refieren a 1:1 elevado a diferentes radios componentes del Diamante.
... ... [ 3:3 ] [ 1:1 ] ... ...
Para combinar 3 con 1, dentro la octava llevamos a 3:1 hasta 3:2, para mezclar hacia la octava baja la llevamos a 4:3 y tenemos todas las combinaciones posibles de un Diamante Tonal del Límite 3, que por cierto es muy deficiente en lo que a música respecta. Ahora pensemos en este ejemplo, 3:2 indica que el Radio, por 3, es una potencial Identidad en alguna tonalidad, que en este caso llamaríamos Odentidad, por estar 3 en el Numerador (por ejemplo diríamos que la Odentidad 5 de 3:2 es 5:2 o la Odentidad 9 de 8:7 es 9:7); así 2 indica que es, al mismo tiempo, una potencial Identidad de 1, en otra tonalidad, que llamamos Udentidad, por estar en el Denominador, (podemos decir que la Udentidad 5 de 7:4 es 7:5).
Así se desarrollan teorías, instrumentos y conocimiento para pensar estas notas, poco a poco llegando al LÍMITE 5, en el Renacimiento se llega al este Límite, y se lo desarrolla desde el Barroco hasta el Clasicismo en nivel teórico del temperamento. Siendo q conocemos q Bach escribió cada pieza del Clave Bien Temperado en cada uno de los tonos del piano, sabemos que ellos ya conocían las 12 notas que usamos hasta hoy, pero no de la misma manera. Recalco que estamos estudiando la manera que se tenía de afinar las consonancias principales, además decir q los Temperamentos como el método “pitagórico” de afinación lo veremos luego de entender bien la Entonación Justa, pues ya en el Barroco se hacen cambios importantes en lo q es Temperar los instrumentos, en especial de aquellos de tecla y cuerda trastada, como claves, harspicordios, laudes, bassos, etc.
Continuando y añadiendo, para llegar al LIMITE 5
5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 6:1, 6:5 (como en el caso de 4, 6 se toma en cuenta pues es 3 octavado)
Vean que 6:2, equivale a 3:1, no se anota, 6:3 equivale a 2:1, así etc.!!!
5:1 = 17va mayor
5:2 = 10va mayor
5:3 = sexta mayor
5:4 = tercera mayor
6:1 = 19va perfecta
6:5 = tercera menor
Por su parte un Diamante Tonal del Límite 5 tendría un centro
[ ... ... ... ...[ 3:3 ] [ __ __ [ 5:5 ] ... ...] [ 1:1 ] ... ... ... ...]
Porque al considerar la triada justa del Límite 5, que es 1:1 (tónica= 0Cents), 5:4 (tercera mayor= 400Cents), 3:2 (quinta justa= 700Cents), que se expresa 3:4:5, tenemos la combinación de la fila inferior horizontal (cada fila horizontal es una triada), y se organizan por altura musical. Así organizamos el centro, de abajo a arriba, 1:1, 5:5, 3:3, todos iguales a 1:1 !
[ ... ... ... ...[ 3:3 ] [ __ __ [ 5:5 ] ... ...] [ 1:1 ] 5:4 ] 3:2 ]
Cada fila se calcula en base a Nexos Numéricos, esto quiere decir un número impar que comparten los Numeradores o Denominadores de una fila del Diamante sea vertical u horizontal.
Así en la fila central primero combinamos 5 con 1 en 5:8… 5 con 3 en 6:5.
[ _:_ [ _:_ [ 3:3 ] [ 8:5 [ 5:5 ] 6:5 ] [ 1:1 ] 5:4 ] 3:2 ]
Para entender mejor las Identidades, podemos decir que en la Otonalidad de 8:5, 5 es el Nexo Numérico, dejando una secuencia de tres Odentidades hasta el Límite 5= 8:5, 5:5 y 6:5, , y tres más hasta el Límite 11= 7:5, 9:5 y 11:10. En la Utonalidad de 5:4, 5 también es el Nexo Numérico, dándonos seis Udentidades hasta el Límite 11= 5:4, 5:5, 5:3, 10:7, 10:9, 20:11. La Proporción Armónica a través de la historia puede ser asociada a la Otonalidad, desde que consideramos a los Parciales 1:1, 2:1, 3:1, 4:1, 5:1, etc., por su parte la partición de una cuerda en distancias materiales iguales (no distancias musicales), es la ancestral fuente de Utonalidad, esta Proporción Aritmética da como resultado la reversa de la Proporción Armónica o Serie de Parciales, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, etc., o cualquier partición material de la cuerda.
En la fila superior combinamos 3 con 1 en 4:3… 3 con 5 en 5:3.
[ 4:3 [ 5:3 [ 3:3 ] [ 8:5 [ 5:5 ] 6:5 ] [ 1:1 ] 5:4 ] 3:2 ]
Nótese que las filas verticales forman triadas también. Las Identidades de los Radios q forman el Diamante son lo que llamamos, en el Sistema Tonal Occidental, modalidades “Mayor y menor”. La Otonalidad (Mayor) es una inmutable colección de Radios, que representa la inmutable capacidad del oído humano.
Recontemos todos los radios de los que hemos hablado:
1:1 = unísono, primo perfecto
2:1 = octava
3:1 = 12va perfecta
3:2 = quinta perfecta
4:1 = 2 octavas
4:3 = cuarta perfecta
5:1 = 17va mayor
5:2 = 10va mayor
5:3 = sexta mayor
5:4 = tercera mayor
6:1 = 19va perfecta
6:5 = tercera menor
Que si organizamos por altura musical y con Cents se ve:
1:1 = Fundamental = 0c
6:5 = tercera menor = 315,6412870005c
5:4 = tercera mayor = 386,3137138648c
4:3 = cuarta perfecta = 498,0449991346c
3:2 = quinta perfecta = 701,9550008654c
5:3 = sexta mayor = 884,3587129994c
2:1 = octava = 1200c
5:2 = 10va mayor = 1586,3137138648c
3:1 = 12va perfecta = 1901,9550008654c
5:1 = 17va mayor = 2786,3137138648c
6:1 = 19na mayor = 3101,9550008654c
Podemos decir que el patrón de la Utonalidad, es la reversa exacta de la Serie de Parciales. Como es el de la Otonalidad para la Escala Diatónica. Esto tiene que ver con la ya mencionada Serie de Sub-Armónicos, unido a la noción de utilización de la Relativa Menor, expresada 10:12:15; si la Diferencia de Tonos producida por esta triada equivoca las Consonancias, que sería la teoría que fundamente mejor la existencia de la sensación de Modalidad Menor, todavía es una polémica entre los teóricos, por ejemplo si la triada mayor es 1:1, 25:1 y 50, la menor poseerá 1:1, 20:1 y 50, sin embargo aunque los intervalos sean iguales en ambas escalas, el orden de sucesión difiere. Por el momento lo que más nos importa es la Utonalidad en Radios, como Complementariedad de la Otonalidad.
Según la teoría dualista de Hugo Riemann:
Los Radios a la izquierda del Centro del Diamante son Complementariedades de los del lado derecho y se los considera por debajo 1:1, como inversiones.
[ 4:3 [ 5:3 [ [ 8:5 [
El fenómeno de la tonalidad está primariamente establecido por la Triada, con las Identidades mostradas en el Diamante Tonal= 1, 5, 3, de los que salen cada una de las líneas que se combinan en diferentes Nexos Numéricos, que se expresan en la relación 4:5:6 (ascendente) para Otonalidades y en (1/4):(1/5):(1/6) para las Utonalidades. Si estipulamos tres Identidades para un determinado acorde, sea utilizando cada elemento como tónica llegado su momento, éstas nos darán la máxima consonancia del Sistema, esto está emparentado con la sensación psicológica de tonalidad que nos hace girar en torno al Centro del Diamante o Identidad 1:1.
Esto se vuelve más claro al pensar que los Radios complementarios (4:3, 5:3, 8:5) se encuentran en realidad abajo del alcance de 2:1 y se expresarían correctamente en el sentido acústico como
[ 2:3 [ 5:3 [ [ 4:5 [
No olvidar, valga la redundancia, q son Radios Complementarios de:
[ [ 3:3 ] [ _ _ [ 5:5 ] 6:5 ] [ 1:1 ] 5:4 ] 3:2 ]
Así hacia abajo desde 1:1 Utonalidad, la Udentidad 5 de tal tiene 4:5 de la vibración1:1, la Udentidad 3 tiene 2:3 de 1:1. Hacia arriba desde 1:1 Otonalidad, la Odentidad 5 tendrá 5:4 de 1:1, la Odentidad 3 tendrá 3:2 de la vibración fundamental 1:1. En cuestión de Otonalidad (mayor) nuestro incipiente Diamante Tonal no tiene nada extraño para quien conoce lo básico del estudio musical occidental, y es fácil ubicar que 3 siempre representa el grado Dominante de la escala, 5 representa el grado Mediante. En la Utonalidad (menor) la concepción es un poco diferente, desde que las identidades descienden de tono desde 1:1, aunque prácticamente los resultados son los mismos, la unidad es aquí la quinta del acorde, pero la gran controversia surge de la posición que se le da a la Fundamental.
La vista reversa de la Utonalidad puede considerarse como un mapa donde el sur es tomado como norte y viceversa, esto no impide el correcto funcionamiento del orden del Diamante.
No olvidemos que cada Radio tiene la revelación de sus Potencialidades. Cuando vemos 5:3, sabemos que 5 puede representar la 5 Odentidad (mediante) de una Otonalidad, y que 3 puede representar la 3 Udentidad (tónica de la relativa menor) en una Utonalidad. En 3:2 vemos inmediatamente el 3 capaz de ser 3 Odentidad (dominante) de una Otonalidad, el 1 (recordemos que 2 es una duplicidad de 1) en una Utonalidad.
Así un Radio debe ser pensado en dos sentidos principales, y uno de estos Radios, 1:1, debe ser pensado en seis sentidos, ya q se escribe tres veces (y cada Radio se piensa por dos).
Esta facultad del tono, la de servir en dos (o más) sentidos es primordial para la modulación en nivel teórico (pues no es del todo necesaria en sentido práctico)
Veamos las características de la escala que estamos manejando=
Cents – Radio – Diferencia – Diferencia en cents 0 --------- 1:1 --------------------------------------- --------------------------- 6:5 --------- 315.6 ------- 315.6 ----- 6:5 --------------------------------------- -------------------------- 25:24 --------- 70.7 ------- 386.3 ----- 5:4 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 498.0 ----- 4:3 --------------------------------------- --------------------------- 9:8 --------- 103.9 ------- 702.0 ----- 3:2 --------------------------------------- -------------------------- 10:9 --------- 182.4 ------- 884.4 ----- 5:3 --------------------------------------- --------------------------- 6:5 --------- 315.6 ------- 1200 ------ 2:1 ---------------------------------------
Como vemos en una escala Límite 5, existen tres espacios significativos, dos de 315.6cents cada uno y otro espacio de 203.9Cents. Subdividiendo estas lagunas es posible, no sólo incrementar el número de grados de la escala, sino también el de tonalidades disponibles. Esto se hace con múltiplos de los Primos del Límite. Las diferencias entre Radios nos indican estas nuevas distancias, como entre 1:1 y 6:5 acomodamos los nuevos Radios 9:8, 10:9 y 16:15, así como entre 5:3 y 2:1 se añadirán 9:5, 15:8 y 16:9, y sacando la diferencia entre éstos podemos tener más y más nuevos Radios repartiéndose de manera simétrica.
Cents – Radio – Diferencia – Diferencia en cents 0 --------- 1:1 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 111.7 ---- 16:15 -------------------------------------- -------------------------- 25:24 --------- 70.7 ------- 182.4 ---- 10:9 --------------------------------------- -------------------------- 81:80 --------- 21.5 ------- 203.9 ----- 9:8 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 315.6 ----- 6:5 --------------------------------------- -------------------------- 25:24 --------- 70.7 ------- 386.3 ----- 5:4 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 498.0 ----- 4:3 --------------------------------------- --------------------------- 9:8 --------- 103.9 ------- 702.0 ----- 3:2 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 813.7 ----- 8:5 --------------------------------------- -------------------------- 25:24 --------- 70.5 ------- 884.4 ----- 5:3 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 996.1 ---- 16:9 --------------------------------------- -------------------------- 81:80 --------- 21.5 ------- 1017.6 ---- 9:5 --------------------------------------- -------------------------- 25:24 --------- 70.7 ------- 1088.3 --- 15:8 --------------------------------------- -------------------------- 16:15 -------- 111.7 ------- 1200 ------ 2:1 ---------------------------------------
La cuestión de si el oído prefiere Radios compuestos de múltiplos de pequeños números primos, a un Radio de aproximadamente la misma distancia y números más pequeños pero con un primo más grande no se puede responder de manera categórica. Por ejemplo, de los intervalos 9:8 (203.9cents) y 8:7 (231.2cents), muy cercanos entre sí, considerando una relación melódica, el oído preferirá 9:8 en el que los números se encuentran dentro el Límite 3. Sin embargo 8:7 funciona de una manera muy interesante en la música arábiga, como sonoridad independiente, con armonía parcialmente dentro del Límite 7. La percepción de este intervalo como utilizable es un hecho cultural y un gusto adquirido.
Como involucran Radios de números múltiplos, las ocho nuevas tonalidades (cuatro Otonalidades y cuatro Utonalidades) dentro el Límite 5 serán llamadas Tonalidades Secundarias.
Otonalidad (hacia arriba)
Odentidad 1 – Odentidad 5 – Odentidad 3 3:2 ---------------- 15:8 ---------------- 9:8 6:5 ----------------- 3:2 ---------------- 9:5 16:9 ---------------- 10:9----------------- 4:3 16:15 ---------------- 4:3 ---------------- 8:5 ------------5:4-------------------6:5----------
En la Otonalidad secundaria 3:2, sabemos que 3 representa la Odentidad 1, entonces la Odentidad 5 debe ser 3*5=15 y la Odentidad 3*3=9. El Nexo Numérico de esta Otonalidad es 1.
En la Otonalidad 6:5, 6 representa la Odentidad 1, 6*5=30 es la Odentidad 5, 6*3=18 la Odentidad 3. El Nexo Numérico de esta Otonalidad es 5. Se expresa mejor como 6:5, 30:20, 18:10.
Utonalidad (hacia abajo)
Udentidad 1 – Udentidad 5 – Udentidad 3 4:3 ----------------- 16:15 ------------- 16:9 5:3 ------------------ 4:3 -------------- 10:9 9:8 ------------------ 9:5 --------------- 3:2 15:8 ------------------ 3:2 --------------- 5:4 ------------5:4------------------6:5-----------
En la Utonalidad bajo 15:8, sabemos que 8 representa la Udentidad 1, 8*5=40 es la Udentidad 5 y 8*3=24 es la Udentidad 3. El Nexo Numérico es 15. Se expresa mejor como 15:8, 60:40 y 30:24.
Los intervalos entre Identidades son siempre 5:4 y 6:5, hacia arriba para Otonalidades, descendiendo para Utonalidades. Como ejemplo, la Otonalidad 16:15 elevada 5:4 es (16:15)*(5:4)=80:60=4:3 y 4:3 elevado 6:5 es (4:3)*(6:5)=24:15=8:5. En la Utonalidad 15:8 descendida 5:4 es (15:8)*(4:5)=60:40=3:2 y 3:2 descendida 6:5 es (3:2)*(5:6)=15:12=5:4.
Dos posibles triadas secundarias se vuelven disponibles si insertamos 25:24 entre 1:1 y 16:15 y su complemento 48:25, que va entre 15:8 y 2:1, ambos Radios teniendo múltiplos dentro el Límite 5.
El Diamante Tonal no es nada más que un mapa conceptual de las acciones sonoras posibles y aceptadas, ideada por el Compositor y Teórico norteamericano Harry Partch, a este tipo de graficaciones le llamamos Entramado.
A Pesar que Partch presenta la Otonalidad y Utonalidad como conceptos simétricos, esto sólo se da en un nivel teórico, pues cuando se toca una Otonalidad en el plano material, ésta se percibe más consonante que su similar Utonalidad debido a la presencia del efecto de la Fundamental Perdida. En una Otonalidad, todas las notas son elementos de la Serie Armónica, así que activan la presencia de la Fundamental Perdida aunque sean armónicos de un tono complejo. Los acordes Utonales, aunque contienen las mismas diadas que los acordes Otonales, no tienden a activar el este fenómeno tan fuertemente.
Ya desde los desarrollos pitagóricos, se tendía a utilizar la distribución de los Radios en proporciones simples y emparentadas, un ejemplo de esto es el Lambdoma, que se logra con una distribución de los Radios desde 1 u otro número, de arriba a abajo, como centro del Diamante Lambdoma.
[ 1:1 ] [ ... ... [ 1:1 ] [ ... ... ... ... [ 1:1 ]
Hacia abajo se desenvuelven Radios en un orden numérico libre, la línea vertical con Radios descendentes y la horizontal con Radios ascendentes.
[ 1:1 ] 2:1 ] 3:1 ] [ 1:2 [ 1:1 ] ... ... [ 1:3 [ ... ... [ 1:1 ]
Seguidamente se combinan los Radios intermedios, por ejemplo en la segunda línea horizontal, mezclamos 3 con 2, obteniendo 3:2, así como en la tercera fila mezclamos 2 con 3, obteniendo 2:3.
[ 1:1 ] 2:1 ] 3:1 ] [ 1:2 [ 1:1 ] 3:2 ] [ 1:3 [ 2:3 [ 1:1 ]
Esto es un Lambdoma hasta el Límite 3. Podemos extendernos un poco más y tener una tabla incluyendo el número 4, que es duplicidad de 2, así como 2 es duplicidad de 1. Mezclando 2 y 4, obtenemos 2:4=1:2, lo mismo para su contraparte ascendente 4:2=2:1.
[ 1:1 ] 2:1 ] 3:1 ] 4:1 ] [ 1:2 [ 1:1 ] 3:2 ] 2:1 ] [ 1:3 [ 2:3 [ 1:1 ] 4:3 ] [ 1:4 [ 1:2 [ 3:4 [ 1:1 ]
Hay que recalcar que Pitágoras no dejó ningún escrito y la mayoría de los datos que sabemos de él se escribieron más de cien años después de su muerte, sin embargo sabemos de la existencia del Lambdoma o Tabla Pitagórica por la tradición musical y matemática que se manejó en Grecia durante siglos, atribuída al mismo.
Robert Fludd – Utriusque Cosmi Historia – El instrumento está dividido en una octava superior, ideal, activa, y una octava inferior, material, pasiva. Ambas octavas se dividen a su vez en cuartas y quintas. El principio inmaterial superior se mueve a lo largo de los intervalos hasta la materia sombría, y el sol, en el punto de intersección, recibe una fuerza transformadora (Alexander Roob, Alquimia y Mística, Taschen 1997).