Espacio cordal

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Esta página ha sido traducida automáticamente del artículo "Chordal space" de la revista inglesa Xenwiki.

En la música, el espacio cordal es un modelo matemático de las relaciones entre acordes en algunos sistemas musicales. Estos modelos son a menudo gráficos o recubrimientos cerámicos. Estrechamente relacionado con el espacio cordal está el espacio modulatorio, que representa las clases de afinación; los acordes de un espacio cordal se eligen entre las clases de afinación de un espacio modulatorio.

Historia del espacio cordal

Uno de los primeros modelos gráficos de relaciones de acordes fue ideado por Johann David Heinichen en 1728; propuso colocar los acordes mayor y menor en un arreglo circular de veinticuatro acordes arreglados de acuerdo al círculo de las quintas; leyendo en el sentido de las manecillas del reloj, .... F, d, C, a, G, .... (Lerdahl, 2001). El mayor actualmente más popular en el relativo menor exterior en el formato interior fue propuesto por David Kellner (1737).

Gottfried Weber y F. G. Vial sugirieron un modelo de espacio cordal grid graph o square celtice; la celosía de Weber centrada en Do mayor, sí:

d♯ F♯ f♯ A a C c
g♯ B b D d F f
c♯ E e G g B♭ b♭
f♯ A a C c E♭ e♭
b D d F f A♭ a♭
e G g B♭ b♭ D♭ d♭
a C c E♭ e♭ G♭ g♭

Las letras minúsculas indican tecla minúscula, mayúscula y minúscula. Esto fue propuesto por primera vez por Vial (1767) (más tarde Weber, Riemann, Schoenberg), siendo la ventaja sobre el círculo de las quintas que representa tanto la mayor relativa como la mayor paralela. (Lerdahl, 2001)

Principios del espacio cordal

El espacio de acordes de Vial/Weber representa dos tipos diferentes de relaciones: tonos comunes compartidos y conducción de voz eficiente. Por ejemplo, la proximidad de los acordes en Do mayor y Mi menor refleja el hecho de que los dos acordes comparten dos tonos comunes, Mi y Sol. Además, un acorde puede transformarse en otro moviendo una sola nota con sólo un semitono: para transformar un acorde en Do mayor en un acorde en Mi menor, basta con mover de Do a Si menor. Además, el espacio cordal Vial/Weber está estrechamente relacionado con las celosías bidimensionales descritas en el artículo sobre espacio de afinación: cada acorde del espacio cordal Vial/Weber puede asociarse con un triángulo en la celosía de clase de afinación Tonnetz o bidimensional.

La estrecha correspondencia entre estas propiedades - tonos comunes compartidos, conducción eficiente de la voz y las celosías de tono bidimensionales - depende del hecho de que el temperamento de la persona significada utiliza un intervalo de consonantes, el quinto, como generador, y puede no aplicarse en otros casos.

Sin embargo, cuando se construye un espacio cordal, varios principios generales son útiles. La primera es que el espacio cordal debe ser o definir un regular graph, cuya regularidad está ligada a la regularidad del espacio modulador correspondiente. El segundo es que para empezar con al menos, sólo los acordes más básicos del sistema tonal en cuestión deben ser considerados. La tercera es que dos acordes deben estar vinculados si y sólo si comparten un intervalo común. Los acordes que comparten una nota común pueden ser alcanzados a través de estas conexiones más cercanas.

Espacio cordal cíclico

En la disposición circular F - d - C - a ...., los acordes F y d comparten dos tonos comunes, y pueden ser enlazados por medio de una eficiente guía de voz. Sin embargo, los acordes d y C no comparten ningún tono común, y no pueden ser enlazados por una voz muy eficiente. En contraste en la serie d - F - a - C - e - G ...., cada acorde comparte dos notas con sus vecinos y puede transformarse en ellas moviendo una nota por uno o dos semitonos. El patrón de acordes resultante puede generarse en el espacio Vial/Weber, moviéndose hacia arriba a lo largo de columnas adyacentes en el espacio.

Cualquier dos acordes adyacentes en esta cadena están ahora unidos por dos intervalos, de modo que los dos acordes adyacentes a un acorde dado están fuertemente unidos a ese acorde. Luego observamos (bajo el supuesto de un temperamento de significados) que d también está ligado por un intervalo compartido (esta vez el quinto) con D. Por lo tanto, trazamos una línea adelante siete pasos desde la tríada menor hasta la tríada mayor en la misma raíz, o detrás de siete pasos desde una tríada mayor hasta su tríada menor asociada. Sin embargo, no trazamos una línea adelante de Do mayor a Do menor, o atrás de Mi menor a Mi bemol mayor, porque estos comparten sólo una nota.

Ahora podemos tomar las veinticuatro tríadas mayores y menores de igual temperamento y colocarlas en los vértices de una tríada regular de 24 gones. Luego dibujamos líneas de tríadas separadas por un paso, y también de cada tríada mayor a su tríada menor paralela, y obtenemos una imagen geométrica de la gráfica regular en cuestión, que modela satisfactoriamente las relaciones triádicas en 12 temperamentos iguales.

en:Archivo:Chordal12.svg

Podemos obtener imágenes muy similares para cualquiera de los otros temperamentos iguales que apoyan el uso de en:meantone temperament, incluyendo en particular 19 EDO y 31 EDO, dibujando un 38-gon o un 62-gon respectivamente, y uniendo todos los acordes separados por un paso, y la mitad correcta separada por siete pasos.

Se puede considerar que la presencia de ciclos, o caminos de bucle cerrado, en estos espacios cordales cíclicos es un defecto. Sin embargo, su eliminación no es necesaria ni deseable; de hecho, son el resultado de una característica fundamental del temperamento, a saber, las bombas de coma. Estos son ciclos de acordes que si se atraviesan en una entonación justa darían lugar a la modulación por un pequeño intervalo, o coma, pero que en la afinación del temperamento simplemente regresa a su punto de partida. El ciclo C-a-F-d-D-D-b-G-e-C es característico de la media naranja, por lo que es de esperar su presencia en estos espacios cordales cíclicos. El cierre del temperamento igual de 24 gones de 12 nos dice que la coma pitagórica (en:Pythagorean comma) también está templada en este sistema; de hecho, es una bomba de coma para la coma pitagórica. El temperamento igual puede describirse como el temperamento con las comas sintética y pitagórica templadas, por lo que debemos encontrar y encontrar ambos tipos de bombas de comas. En otras palabras, esto no es un error, es una característica.

Los espacios cordales cíclicos no están de ninguna manera limitados a temperamentos iguales que soportan al meantone. Un examen del diagrama de 12 espacios cordales iguales mostrará que también podría describirse como un círculo de quintas, con tríadas mayores representadas por números pares y tríadas menores por números impares, de tal manera que por cada número par sumamos 17, y por cada número impar restamos 17, ambos módulo 24, y luego trazamos una línea entre los dos nodos. Esto se debe a que -7 modulo 24 es lo mismo que 17 modulo 24. Podemos hacer lo mismo en otros temperamentos iguales debidamente seleccionados, por ejemplo 53 EDO (en:53edo), y obtener un espacio de acordes correspondiente a en:schismatic temperament. Sin embargo, esta no es la única manera de organizar las 106 tríadas de 53 iguales. Podemos igualmente empezar con la cadena -A-a-C-c-c-Eb-eb-...., y trazar una línea entre el nodo i y el nodo i+11 siempre que sea par, y entre i e i-11 siempre que sea impar. Esto produce un cuadro de 53 iguales dispuestos en términos de en:hanson temperament, lo que atempera el kleisma, o 15625/15552. Los dos gráficos son de hecho isomórficos, y así en un nivel más abstracto las dos imágenes son idénticas, pero como están representadas son bastante diferentes.

Espacio cordal lineal

Si tomamos una cadena de acordes mayores y menores arreglados como arreglamos los acordes en un círculo de quintas, a saber, .... -d-F-a-C-e-G-b-D-..., y luego dibujamos bucles de las tríadas menores antes de los siete pasos de las tríadas mayores, obtenemos una imagen del espacio de acordes en genérico, o lógico, significada. Esta es una media naranja que no está sintonizada con un temperamento igual, de modo que el círculo no se cierra, como por ejemplo en:quarter-comma meantone. Si hacemos lo mismo con los dos cuadros de temperamento igual discutidos en la sección anterior, ahora obtenemos dos espacios acordes lineales, uno basado en una cadena de quintos y el otro en una cadena de tercios menores. Estos dos espacios cordales son ahora no isomórficos, y representan espacio cordal para los temperamentos cismático y hanson respectivamente.

También podemos producir espacios cordales lineales y cíclicos para una armonía de límite superior, como la armonía septimal. Por ejemplo, podemos tomar las 144 tétradas septimales de 72 EDO (en:72edo), dispuestas de tal manera que a dos pasos de una tétrada en:otonal nos lleve a otra tétrada otonal con la raíz 7 pasos de 72 igual de alta, y del mismo modo para las tétradas en:utonal. Entonces podemos trazar líneas entre los acordes siempre que estén a uno, once o quince pasos de distancia. A diferencia de las tríadas, no tenemos que preocuparnos por los diferentes tipos de acordes para números pares e impares de pasos. Podemos desenrollar esta imagen de 72 iguales en un espacio cordal lineal para en:miracle temperament.

Traducido por: akallabeth@TheSubFactory

La carta regional de en:Gottfried Weber representa el primer intento de definir las relaciones bidimensionales del espacio cordal de la entonación justa de cinco límites. Sin embargo, no fue concebido como un sistema para representar sólo la entonación, y por lo tanto tiene el mismo nombre de acorde que aparece en diferentes lugares. En la entonación pura y justa, estos serían acordes diferentes.

Comenzando con la imagen hexagonal lattice de cinco límites en:modulatory space, podemos llegar a una imagen más teóricamente satisfactoria del espacio cordal de cinco límites, que Lerdahl caracteriza como "neo-Riemannian". Las regiones triangulares equiláteras corresponden a tríadas, con la diferencia entre tríadas mayores y menores representadas por dos orientaciones diferentes. Tomando los puntos medios de estos triángulos como verticales, y dibujando un borde entre ellos si los triángulos comparten un lado (lo que significa que las tríadas correspondientes comparten un intervalo) podemos crear un mosaico del plano, llamado mosaico doble al mosaico de celosía hexagonal, que se conoce como hexagonal tiling. Cada vértice de este mosaico representa una tríada, y de cada vértice hay tres bordes cada 120 aparte de los otros, que se conectan a las tres tríadas que comparten un intervalo con la tríada dada. Las tres direcciones diferentes de los bordes corresponden a las tres "transformaciones neorrománicas": R", que conecta mayor a menor relativo, por ejemplo Do a a; "L", que conecta un acorde mayor a un acorde que contiene un tono principal, por ejemplo Do a Mi; y "P", que conecta una tríada mayor a su paralelo menor, por ejemplo Do a Do.

Espacio acorde de siete límites

Si tomamos las tétradas en:otonal y en:utonal] tétradas de siete límites de entonación,

y dibujar un borde entre ellos si comparten un intervalo común, obtenemos el espacio cordal básico de la armonía de siete límites. Tiene la notable propiedad de formar un entramado; las tétradas están asociadas a triples de enteros (a, b, c), lo que define el en:cubic lattice, o entramado entero tridimensional. Si

a+b+c es un número par, la tétrada correspondiente es mayor con root

3^(-a+b+c)/2 5^(a-b+c)/2 7^(a+b-c)/2. Si a+b+c es impar, es menor, o utonal, con raíz

3^(-1-a+b+c)/2 5^(1+a-b+c)/2 7^(1+a+b-c)/2. Esta estructura muy regular es hasta cierto punto heredada por los espacios cordales cíclicos o lineales de siete límites, haciéndolos de alguna manera más regulares que los correspondientes espacios de cinco límites.

Ver también

Enlaces externos

Referencias

  • Lerdahl, Fred (2001). "Tonal Pitch Space", págs. 42-43. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195058348.
  • Mathieu, W. A. (1997). "Experiencia armónica": Armonía tonal desde sus orígenes naturales hasta su expresión moderna. Inner Traditions Intl Ltd. ISBN 0892815604.
  • Category:Music theory - Wikipedia (en)
  • Category:Pitch - Wikipedia (en)

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